Jak rozwiązywać układy równań

Rozwiązanie układu równań nie jest trudne przy użyciu podstawowych metod rozwiązywania układów równań liniowych: metody podstawienia i metody dodawania.

Instrukcja obsługi

1

Rozważmy metody rozwiązywania układu równań na przykładzie układu dwóch równań liniowych o dwóch nieznanych wartościach. Ogólnie rzecz biorąc, taki system jest napisany w następujący sposób (po lewej równania są połączone z nawiasami klamrowymi):

ax + b = c

dx + ey = f, gdzie

a, b, c, d, e, f to współczynniki (liczby szczegółowe), a xiy jak zwykle są nieznane. Liczby a, b, c, d nazywane są współczynnikami dla nieznanych, a c i f nazywane są wolnymi terminami. Rozwiązanie takiego układu równań można znaleźć za pomocą dwóch głównych metod.

Rozwiązanie układu równań metodą podstawienia.

1. Przyjmujemy pierwsze równanie i wyrażamy jedną z niewiadomych (x) w kategoriach współczynników, a drugą nieznaną (y):

x = (s-by) / a

2. Zamień wyrażenie uzyskane dla x na drugie równanie:

d (c-by) / a + ey = f

3. Rozwiązując wynikowe równanie, znajdujemy wyrażenie dla y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Zamień wynikowe wyrażenie na y na wyrażenie na x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Przykład: musisz rozwiązać układ równań:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Znajdź wartość x z pierwszego równania:

x = (2y + 4) / 3

Podstaw wynikowe wyrażenie do drugiego równania i uzyskaj równanie z jedną zmienną (y):

(2 lata + 4) / 3 + 3 lat = 5, skąd otrzymujemy:

y = 1

Teraz podstawiamy znalezioną wartość y w wyrażeniu na zmienną x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Odpowiedź: x = 2, y = 1.

2)

Rozwiązanie układu równań metodą dodawania (odejmowania).

Metoda ta sprowadza się do pomnożenia obu stron równań przez liczby (parametry) w taki sposób, że w rezultacie współczynniki jednej ze zmiennych pokrywają się (być może ze znakiem przeciwnym).

W ogólnym przypadku obie strony pierwszego równania należy pomnożyć przez (-d), a obie strony drugiego równania przez a. W rezultacie otrzymujemy:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Dodając powstałe równania, otrzymujemy:

-bdu + aeu = -cd + af, skąd otrzymujemy wyrażenie dla zmiennej y:

y = (af-cd) / (ae-bd), podstawiając wyrażenie y w dowolnym równaniu układu, otrzymujemy:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

z tego równania znajdujemy drugą nieznaną:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Przykład Rozwiąż układ równań, dodając lub odejmując:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Pomnóż pierwsze równanie przez (-1), a drugie przez 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Dodając (termin po terminie) oba równania, otrzymujemy:

11y = 11

Skąd otrzymujemy:

y = 1

Otrzymaną wartość y podstawiamy w dowolnym równaniu, na przykład w drugim, otrzymujemy:

3x + 9 = 15, skąd

x = 2

Odpowiedź: x = 2, y = 1.