Jak znaleźć medianę trójkąta prostokątnego
Wideo: Zadanie - długość środkowej w trójkącie prostokątnym 2024, Lipiec
Określenie środkowej trójkąta prostego jest jednym z podstawowych zadań w geometrii. Często jego odkrycie działa jako element pomocniczy w rozwiązaniu jakiegoś bardziej złożonego zadania. W zależności od dostępnych danych zadanie można rozwiązać na kilka sposobów.
Będziesz potrzebować
podręcznik geometrii.
Instrukcja obsługi
1
Warto przypomnieć, że trójkąt jest prostokątny, jeśli jego kąt wynosi 90 stopni. Mediana to odcinek obniżony od rogu trójkąta do przeciwnej strony. Ponadto dzieli go na dwie równe części. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt ABC jest prosty, środkowa BD, owłosiona od wierzchołka kąta prostego, równa się połowie przeciwprostokątnej AC. To znaczy, aby znaleźć medianę, podziel wartość przeciwprostokątną na dwie: BD = AC / 2. Przykład: Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym ABC (kąt ABC ABC) znane są wartości nóg AB = 3 cm, BC = 4 cm., znajdź długość mediany BD upuszczonej z wierzchołka kąta prostego. Rozwiązanie:
1) Znajdź wartość przeciwprostokątnej. Według twierdzenia Pitagorasa AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2. Dlatego AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0, 5 = (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ^ 0, 5 = 25 ^ 0, 5 = 5 cm
2) Znajdź medianę długości według wzoru: BD = AC / 2. Następnie BD = 5 cm.
2)
Zupełnie inna sytuacja powstaje, gdy mediana jest opuszczana na nogi prostego trójkąta. Niech trójkąt ABC ma kąt B w linii prostej, a AE i CF mediany są opuszczone do odpowiednich nóg BC i AB. Tutaj długość tych segmentów wynika ze wzorów: AE = (2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0, 5 / 2
CF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0, 5 / 2 Przykład: Dla trójkąta ABC kąt ABC jest prosty. Długość nogi AB = 8 cm, kąt BCA = 30 stopni. Znajdź długości środkowych pominiętych z ostrych narożników.
1) Znajdź długość przeciwprostokątnej AC, można ją uzyskać z zależności sin (BCA) = AB / AC. Stąd AC = AB / sin (BCA). AC = 8 / sin (30) = 8 / 0, 5 = 16 cm.
2) Znajdź długość nogi głośnika. Najłatwiej można je znaleźć w twierdzeniu Pitagorasa: AC = (AB ^ 2 + BC ^ 2) ^ 0, 5, AC = (8 ^ 2 + 16 ^ 2) ^ 0, 5 = (64 + 256) ^ 0, 5 = (1024) ^ 0, 5 = 32 cm.
3) Znajdź mediany z powyższych wzorów
AE = (2 (AB ^ 2 + AC ^ 2) -BC ^ 2) ^ 0, 5 / 2 = (2 (8 ^ 2 + 32 ^ 2) -16 ^ 2) ^ 0, 5 / 2 = (2 (64 + 1024) -256) ^ 0, 5 / 2 = 21, 91 cm.
CF = (2 (BC ^ 2 + AC ^ 2) -AB ^ 2) ^ 0, 5 / 2 = (2 (16 ^ 2 + 32 ^ 2) -8 ^ 2) ^ 0, 5 / 2 = (2 (256 + 1024) -64) ^ 0, 5 / 2 = 24, 97 cm.
Zwróć uwagę
Mediana zawsze dzieli trójkąt na dwa inne trójkąty o jednakowej powierzchni.
Punkt przecięcia wszystkich trzech median nazywa się środkiem ciężkości.
Przydatna rada
Bardzo często znaczenie kateet i przeciwprostokątów najłatwiej jest znaleźć za pomocą wzorów trygonometrycznych.