Jak znaleźć obszar okrągłego segmentu

Jednym z typowych problemów geometrycznych jest obliczenie pola segmentu kołowego - części koła ograniczonej cięciwą i odpowiadającego cięciwy łuku koła.

Pole segmentu kołowego jest równe różnicy między obszarem odpowiedniego sektora kołowego a obszarem trójkąta utworzonego przez promienie odpowiedniego segmentu sektora i cięciwy ograniczającej ten segment.

Przykład 1

Długość cięciwy kurczącej się koła jest równa wartości a. Miara stopnia łuku odpowiadającego cięciwie wynosi 60 °. Znajdź obszar okrągłego segmentu.

Rozwiązanie

Trójkąt utworzony z dwóch promieni i cięciwy jest równoramienny, więc wysokość narysowana od góry kąta środkowego do boku trójkąta utworzonego przez cięciwę będzie również bisektorem kąta środkowego, dzieląc go na pół i środkową, zmniejszając połowę cięciwy. Wiedząc, że sinus kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej, możemy obliczyć promień:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Obszar sektora odpowiadający danemu kątowi można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Obszar trójkąta odpowiadający sektorowi oblicza się w następujący sposób:

S ▲ = 1/2 * ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od góry kąta środkowego do cięciwy. Według twierdzenia Pitagorasa h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Odpowiednio, S ▲ = √3 / 4 * a².

Pole segmentu, obliczone jako Sseg = Sc - S ▲, jest równe:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Podstawiając wartość liczbową zamiast a, możesz łatwo obliczyć wartość liczbową obszaru segmentu.

Przykład 2

Promień okręgu jest równy a. Miara stopnia łuku odpowiadająca segmentowi wynosi 60 °. Znajdź obszar okrągłego segmentu.