Jak rozwiązywać równania z pierwiastkami

Czasami w równaniach występuje znak pierwiastka. Wielu uczniom wydaje się, że bardzo trudno jest rozwiązać takie równania „z pierwiastkami” lub, bardziej poprawnie, równaniami irracjonalnymi, ale tak nie jest.

Instrukcja obsługi

1

W przeciwieństwie do innych typów równań, na przykład kwadratowych lub liniowych układów równań, nie ma standardowego algorytmu rozwiązywania równań z pierwiastkami, a ściślej irracjonalnych. W każdym konkretnym przypadku konieczne jest wybranie najbardziej odpowiedniej metody rozwiązania w oparciu o „wygląd” i cechy równania.

Podniesienie części równania do tego samego stopnia.

Najczęściej do rozwiązywania równań z pierwiastkami (równania irracjonalne) stosuje się podniesienie obu stron równania do tego samego stopnia. Z reguły w stopniu równym stopniowi pierwiastka (kwadrat dla pierwiastka kwadratowego, sześcian dla pierwiastka sześciennego). Należy pamiętać, że podnosząc lewą i prawą stronę równania do równego stopnia, może on mieć „dodatkowe” korzenie. Dlatego w tym przypadku należy sprawdzić uzyskane pierwiastki, podstawiając je w równaniu. Szczególną uwagę w rozwiązywaniu równań z pierwiastkami kwadratowymi (parzystymi) należy zwrócić na zakres dopuszczalnych wartości zmiennej (ODZ). Czasami samo oszacowanie ODL wystarcza do rozwiązania lub znacznego uproszczenia równania.

Przykład Rozwiąż równanie:

√ (5x-16) = x-2

Kwadrat po obu stronach równania:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², skąd sukcesywnie otrzymujemy:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Rozwiązując otrzymane równanie kwadratowe, znajdujemy jego korzenie:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Podstawiając oba znalezione pierwiastki do pierwotnego równania, otrzymujemy prawidłową równość. Dlatego obie liczby są rozwiązaniami równania.

2)

Metoda wprowadzania nowej zmiennej.

Czasami wygodniej jest znaleźć pierwiastki „równania z pierwiastkami” (równanie irracjonalne), wprowadzając nowe zmienne. W rzeczywistości istota tej metody jest po prostu zredukowana do bardziej zwartego zapisu rozwiązania, tj. zamiast za każdym razem pisać nieporęczne wyrażenie, zastępuje je legenda.

Przykład Rozwiąż równanie: 2x + √x-3 = 0

Możesz rozwiązać to równanie, wyrównując obie strony. Jednak same obliczenia będą wyglądać raczej niewygodnie. Dzięki wprowadzeniu nowej zmiennej proces decyzyjny okaże się znacznie bardziej elegancki:

Wprowadzamy nową zmienną: y = √ x

Następnie otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

2y² + y-3 = 0, ze zmienną y.

Rozwiązując wynikowe równanie, znajdujemy dwa pierwiastki:

y1 = 1 i y2 = -3 / 2, podstawiając znalezione pierwiastki w wyrażeniu na nową zmienną (y), otrzymujemy:

√ x = 1 i √ x = -3 / 2.

Ponieważ wartość pierwiastka kwadratowego nie może być liczbą ujemną (jeśli nie dotkniesz obszaru liczb zespolonych), otrzymamy jedyne rozwiązanie:

x = 1.

rozwiązanie pierwiastka kwadratowego