Jak obliczyć powierzchnię równoległoboku zbudowanego na wektorach

Na dwóch dowolnych wektorach nieliniowych i niezerowych można zbudować równoległobok. Te dwa wektory zwężą się równoległobokiem, jeśli połączysz ich pochodzenie w jednym punkcie. Zakończ boki figury.

Instrukcja obsługi

1

Znajdź długości wektorów, jeśli podano ich współrzędne. Niech na przykład wektor A ma współrzędne (a1, a2) w płaszczyźnie. Zatem długość wektora A wynosi | A | = √ (a1² + a2²). Podobnie znajdujemy moduł wektora B: | B | = √ (b1² + b2²), gdzie b1 i b2 są współrzędnymi wektora B na płaszczyźnie.

2)

Obszar równoległoboku jest określony wzorem S = | A | • | B | • sin (A ^ B), gdzie A ^ B jest kątem między podanymi wektorami A i B. Sinus można znaleźć przez cosinus przy użyciu podstawowej tożsamości trygonometrycznej: sin²α + cos²α = 1. Cosinus można wyrazić jako iloczyn skalarny wektorów zapisanych we współrzędnych.

3)

Iloczyn skalarny wektora A przez wektor B jest oznaczony przez (A, B). Z definicji jest on równy (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). A we współrzędnych zapisywany jest iloczyn skalarny w następujący sposób: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Stąd możemy wyrazić cosinus kąta między wektorami: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). W liczniku iloczyn skalarny; w mianowniku długości wektorów.

4

Teraz możemy wyrazić sinus z głównej tożsamości trygonometrycznej: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Jeśli założymy, że kąt α między wektorami jest ostry, minus z sinusoidą można odrzucić, pozostawiając tylko znak plus, ponieważ sinus kąta ostrego może być tylko dodatni (lub zero przy kącie zerowym, ale tutaj kąt jest różny od zera, jest to wyświetlane w stanie nieliniowość wektorów).

5

Teraz musimy zastąpić wyrażenie cosinus współrzędną wyrażeniem sinusoidalnym. Następnie pozostaje tylko zapisać wynik we wzorze pola równoległoboku. Jeśli wszystko to zostanie zrobione, a wyrażenie liczbowe zostanie uproszczone, wówczas okaże się, że S = a1 • b2-a2 • b1. Zatem obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach A (a1, a2) i B (b1, b2) jest określony wzorem S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Wynikowe wyrażenie jest wyznacznikiem macierzy złożonej ze współrzędnych wektorów A i B: a1 a2b1 b2.

7

Rzeczywiście, aby uzyskać wyznacznik macierzy wymiaru drugiego, musimy pomnożyć elementy głównej przekątnej (a1, b2) i odjąć od tego iloczyn elementów bocznej przekątnej (a2, b1).