Jak rozwiązywać równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne to równania zawierające funkcje trygonometryczne nieznanego argumentu (na przykład: 5sinx-3cosx = 7). Aby dowiedzieć się, jak je rozwiązać, musisz znać kilka metod.

Instrukcja obsługi

1

Rozwiązanie takich równań składa się z dwóch etapów.

Pierwszym jest przekształcenie równania w celu uzyskania jego najprostszej postaci. Najprostsze równania trygonometryczne są następujące: Sinx = a; Cosx = a itp.

2)

Drugi to rozwiązanie najprostszego uzyskanego równania trygonometrycznego. Istnieją podstawowe metody rozwiązywania tego rodzaju równań:

Rozwiązanie metodą algebraiczną. Ta metoda jest dobrze znana w szkole, z kursu algebry. Inną nazwą jest metoda podstawiania zmiennych i podstawiania. Korzystając z formuł redukcyjnych, przekształcamy, dokonujemy zamiany, a następnie znajdujemy korzenie.

3)

Faktoryzacja równania. Najpierw przenieś wszystkie warunki w lewo i uwzględnij je.

4

Doprowadzenie równania do jednorodnego. Równania jednorodne nazywane są równaniami, jeśli wszyscy członkowie tego samego stopnia i sinusa, cosinus pod tym samym kątem.

Aby go rozwiązać, należy: najpierw przenieść wszystkich jego członków z prawej strony na lewą; wykluczyć wszystkie wspólne czynniki z nawiasów; wyrównać współczynniki i nawiasy kwadratowe do zera; równe nawiasy kwadratowe dają jednorodne równanie o mniejszym stopniu, które powinno być podzielone na cos (lub sin) w większym stopniu; rozwiązać wynikowe równanie algebraiczne dla tan.

5

Następną metodą jest przejście do pół rogu. Na przykład rozwiązuj równanie: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Przejdź do połowy kąta: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) - 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) = 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2), po czym zmniejszamy wszystkie warunki do jednej części (najlepiej po prawej) i rozwiązujemy równanie.

6

Wprowadzenie kąta pomocniczego. Kiedy zamieniamy wartość całkowitą cos (a) lub sin (a). Znak „a” jest kątem pomocniczym.

7

Metoda przekształcania pracy w sumę. Tutaj musisz użyć odpowiednich formuł. Na przykład, biorąc pod uwagę: 2 sin x sin 3x = cos 4x.

Rozwiązujemy go, konwertując lewą stronę na sumę, to znaczy:

cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8

Ta ostatnia metoda, zwana uniwersalnym podstawieniem. Przekształcamy wyrażenie i dokonujemy zamiany, na przykład Cos (x / 2) = u, po czym rozwiązujemy równanie za pomocą parametru u. Po otrzymaniu wyniku przeliczamy wartość na przeciwną.